【两点间距离公式】在数学中，两点间距离公式是用于计算平面上或空间中两个点之间直线距离的工具。该公式广泛应用于几何、物理、计算机图形学等领域，是解析几何中的基础内容之一。
一、公式总结
| 应用场景 | 公式表达 | 说明 |
| 平面直角坐标系（二维） | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ | 用于计算平面上两点之间的直线距离 |
| 空间直角坐标系（三维） | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $ | 用于计算空间中两点之间的直线距离 |
二、公式推导思路
两点间距离公式的本质来源于勾股定理。在平面坐标系中，若已知两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，则可以构造一个直角三角形，其中一条直角边为 $ x_2 - x_1 $，另一条直角边为 $ y_2 - y_1 $，斜边即为两点间的距离 $ d $。根据勾股定理：
$$
d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
$$
因此，
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
三维空间中的公式则是对二维情况的扩展，增加了 $ z $ 坐标的变化量。
三、实际应用举例
- 例1： 在平面中，点 $ A(1, 2) $ 和点 $ B(4, 6) $ 之间的距离是多少？
$$
d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
- 例2： 在空间中，点 $ C(0, 3, 1) $ 和点 $ D(2, 5, 4) $ 之间的距离是多少？
$$
d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}
$$
四、注意事项
- 公式适用于笛卡尔坐标系下的点。
- 若两点重合，则距离为 0。
- 公式不适用于曲线距离，仅适用于直线距离。
通过掌握和理解两点间距离公式，能够更准确地分析几何问题，并在实际问题中进行有效计算与建模。