【复变函数知识点梳理】复变函数是数学中一门重要的分支，研究复数域上的函数及其性质。它在物理、工程、信号处理等领域有着广泛的应用。以下是对复变函数主要知识点的系统梳理，便于复习和理解。
一、复数与复平面上的基本概念
| 概念 | 内容 | ||
| 复数 | 形如 $ z = x + iy $，其中 $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $ | ||
| 模 | $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2} $ |
| 辐角 | $ \arg(z) $，表示复数在复平面上与实轴的夹角 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = x - iy $ | ||
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} $ |
二、复变函数的基本定义
| 概念 | 内容 |
| 复变函数 | 设 $ D \subseteq \mathbb{C} $，函数 $ f: D \to \mathbb{C} $ 称为复变函数 |
| 函数表示 | 通常写成 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ z = x + iy $ |
| 极限 | 若 $ \lim_{z \to z_0} f(z) = L $，则称 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有极限 |
| 连续性 | 若 $ \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0) $，则称 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续 |
三、解析函数（全纯函数）
| 概念 | 内容 |
| 解析函数 | 在某点 $ z_0 $ 的邻域内可导的函数称为在该点解析 |
| Cauchy-Riemann 方程 | 若 $ f(z) = u + iv $ 在某点可导，则必须满足：$ u_x = v_y $，$ u_y = -v_x $ |
| 可导性与解析性 | 可导不一定解析，但解析一定可导 |
| 解析函数的性质 | 解析函数的导数仍是解析函数；解析函数的实部和虚部都是调和函数 |
四、复积分
| 概念 | 内容 |
| 积分路径 | 通常为复平面上的一条光滑曲线或分段光滑曲线 |
| 积分计算 | $ \int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt $，其中 $ \gamma(t) $ 是参数方程 |
| Cauchy 积分定理 | 若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，且 $ C $ 是 $ D $ 内任意闭合曲线，则 $ \int_C f(z)\,dz = 0 $ |
| Cauchy 积分公式 | 若 $ f(z) $ 在 $ D $ 内解析，$ z_0 \in D $，则 $ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz $ |
五、幂级数与泰勒展开
| 概念 | 内容 | ||
| 幂级数 | 形如 $ \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n $ 的级数 | ||
| 收敛半径 | 由 $ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} | a_n | ^{1/n}} $ 确定 |
| 泰勒展开 | 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则存在唯一的泰勒级数 $ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n $ | ||
| 展开条件 | 必须在某个圆盘内解析，才能展开为泰勒级数 |
六、洛朗级数与奇点
| 概念 | 内容 |
| 洛朗级数 | 形如 $ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n $ 的级数，适用于有奇点的区域 |
| 奇点分类 | 可去奇点、极点、本性奇点 |
| 零点与极点 | 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处为零，且 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处不恒为零，则 $ z_0 $ 为零点；若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处无定义且趋于无穷，则 $ z_0 $ 为极点 |
| 留数 | 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有极点，则其留数为 $ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\,dz $ |
七、留数定理与应用
| 概念 | 内容 |
| 留数定理 | 若 $ f(z) $ 在闭合曲线 $ C $ 内有有限个孤立奇点，则 $ \int_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum \text{Res}_{z=z_k} f(z) $ |
| 应用 | 计算实积分、求解某些复积分、分析函数的奇点分布等 |
| 常见积分类型 | 如 $ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx $、$ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a + b\cos\theta} $ 等 |
八、共形映射（保角映射）
| 概念 | 内容 |
| 共形映射 | 保持角度不变的解析函数 |
| 特点 | 仅在导数非零处保持保角性 |
| 常见映射 | 如指数函数 $ e^z $、对数函数 $ \log z $、线性变换 $ az + b $ 等 |
| 应用 | 在流体力学、电动力学中用于将复杂区域转换为简单区域进行分析 |
总结
复变函数是一门内容丰富、应用广泛的数学学科，涉及复数运算、解析函数、复积分、级数展开、奇点理论及共形映射等多个方面。掌握这些基本概念和定理，有助于深入理解复分析的核心思想，并在实际问题中灵活运用。通过系统梳理知识点，可以更高效地学习和复习复变函数的相关内容。