【什么是行列式余子式代数余子式】在矩阵与线性代数的学习中，行列式、余子式和代数余子式是三个非常重要的概念。它们不仅在计算行列式的值时起着关键作用，还在求解逆矩阵、特征值等问题中广泛应用。以下是对这三个概念的总结与对比。
一、基本概念总结
| 概念 | 定义 | 用途 | ||
| 行列式 | 对于一个n×n的方阵A，其行列式是一个标量值，记作det(A)或 | A | ，用于判断矩阵是否可逆、计算面积/体积等几何问题。 | 判断矩阵是否可逆、计算线性变换的缩放因子、求解线性方程组等。 |
| 余子式 | 在n×n矩阵中，去掉第i行第j列后的(n-1)×(n-1)矩阵的行列式，记作M_ij。 | 构造代数余子式的基础，用于展开行列式。 | ||
| 代数余子式 | 余子式乘以(-1)^(i+j)，记作C_ij = (-1)^(i+j) × M_ij。 | 用于行列式的展开（按行或列展开），以及构造伴随矩阵。 |
二、详细解释
1. 行列式（Determinant）
行列式是方阵的一个数值属性，它反映了矩阵所代表的线性变换对空间的“伸缩”程度。若行列式为0，则矩阵不可逆；若不为0，则矩阵可逆。
例如，对于2×2矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
$$
其行列式为：
$$
\text{det}(A) = ad - bc
$$
2. 余子式（Minor）
余子式是去掉某一行一列后得到的子矩阵的行列式。例如，在3×3矩阵中，元素a₁₁的余子式M₁₁就是去掉第一行第一列后的2×2矩阵的行列式。
3. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式是在余子式的基础上乘以符号因子(-1)^(i+j)，其中i和j是该元素所在的行和列号。这个符号因子决定了代数余子式的正负。
例如，对于元素a₁₁，其代数余子式为：
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = M_{11}
$$
而对于a₁₂：
$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -M_{12}
$$
三、应用举例
假设有一个3×3矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
我们可以计算某个元素的余子式和代数余子式：
- 元素a₁₁的余子式M₁₁为：
$$
M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5×9) - (6×8) = 45 - 48 = -3
$$
- 其代数余子式C₁₁为：
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot (-3) = 1 \cdot (-3) = -3
$$
四、总结
| 概念 | 是否带符号 | 是否依赖位置 | 主要用途 |
| 行列式 | 否 | 否 | 整体性质判断 |
| 余子式 | 否 | 是 | 构造代数余子式 |
| 代数余子式 | 是 | 是 | 展开行列式、构造伴随矩阵 |
通过理解这些基本概念，可以更深入地掌握矩阵运算的核心思想，为后续学习如逆矩阵、特征值、特征向量等内容打下坚实基础。