【常用的导数公式表】在微积分的学习中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式对于解决实际问题、进行数学分析以及理解函数的性质具有重要意义。本文将总结一些常用的导数公式，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
当函数由多个函数复合而成时，使用链式法则求导：
$$
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ \frac{d}{dx}[\sin(3x)] = 3\cos(3x) $
- $ \frac{d}{dx}[e^{x^2}] = 2x e^{x^2} $
三、乘积与商的导数
1. 乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
2. 商法则：
$$
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
四、高阶导数示例
| 函数表达式 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 |
| $ f(x) = x^3 $ | $ 3x^2 $ | $ 6x $ | $ 6 $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
五、小结
导数是数学分析中的基础内容，熟练掌握常见函数的导数公式有助于提高解题效率。无论是初等函数还是复合函数，都可以通过上述规则进行求导。建议在学习过程中多做练习，加深对导数概念的理解和应用能力。
通过本表，读者可以快速查找各类函数的导数，方便复习和应用。