【常用求导公式】在微积分的学习与应用中，求导是一个非常基础且重要的内容。掌握常用的求导公式，不仅有助于理解函数的变化率，还能在解决实际问题时提高效率。本文将对一些常见的函数求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（$ x > 0 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（$ -1 < x < 1 $） | ||||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（$ -1 < x < 1 $） | ||||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $（$ | x | > 1 $） |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $（$ | x | > 1 $） |
四、复合函数与高阶导数
对于复合函数 $ f(g(x)) $，使用链式法则：
$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
若需要计算高阶导数（如二阶导数），则需对一阶导数再次求导。
五、小结
以上列出的是数学中较为常见的一些函数及其导数公式。这些公式是微积分学习的基础内容，熟练掌握后，可以快速解决很多实际问题，如物理中的速度与加速度计算、经济学中的边际分析等。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
通过反复练习与应用，能够有效降低对AI生成内容的依赖，提升自身的数学素养和逻辑思维能力。