三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线相交得到的一个点。这个点到三角形三个顶点的距离完全相等。以这个点为圆心，以这个距离为半径画圆，就能经过三角形三个顶点，这个圆叫三角形的外接圆。理解外心时，可以把边、垂直平分线、顶点和外接圆放在一起看。

一、核心定义

三角形的外心可以概括为下面这些要点：

• 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
• 外心到三角形三个顶点的距离相等。
• 外心是三角形外接圆的圆心。
• 外接圆经过三角形的三个顶点。
• 外心位置由三条边的垂直平分线共同确定。

二、为什么成立

三角形的外心具有“到三个顶点距离相等”的特点，原因来自垂直平分线的性质。

可以把它想成一个“到三个顶点距离都相等的点”。三条边的垂直平分线帮助找到这个点，找到了这个点，也就确定了外接圆的圆心。

三、怎么确定外心

方法一：尺规作图

1. 画出三角形的三个顶点和三条边。
2. 作第一条边的垂直平分线。
3. 作第二条边的垂直平分线。
4. 作第三条边的垂直平分线。
5. 找到三条垂直平分线相交的点。
6. 这个交点就是三角形的外心。

方法二：坐标计算

如果三角形三个顶点坐标已知，可以按下面步骤求外心。

设三个顶点为：

• A（x₁，y₁）
• B（x₂，y₂）
• C（x₃，y₃）

设三角形的外心为 P（X，Y）。

1. 根据外心到 A 和 B 的距离相等，列出方程：

（X - x₁）² +（Y - y₁）² =（X - x₂）² +（Y - y₂）²

1. 根据外心到 A 和 C 的距离相等，列出方程：

（X - x₁）² +（Y - y₁）² =（X - x₃）² +（Y - y₃）²

1. 把两个方程化简成关于 X 和 Y 的一次方程。
2. 解这两个方程，得到外心坐标 P（X，Y）。
3. 外心到任一顶点的距离就是外接圆半径。

化简后的常用写法

由距离相等可以整理得到：

2（x₂ - x₁）X + 2（y₂ - y₁）Y = x₂² + y₂² - x₁² - y₁²

2（x₃ - x₁）X + 2（y₃ - y₁）Y = x₃² + y₃² - x₁² - y₁²

解这个方程组，就能确定三角形的外心位置。

四、外心位置类型

三角形的外心位置与三角形形状有关系。下面是常见情况。

【常见问题】

问题1：三角形的外心是什么？

回答1：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线相交得到的点，也是三角形外接圆的圆心。

问题2：三角形的外心怎么找？

回答2：找三角形的外心时，可以先作三条边的垂直平分线，再把三条垂直平分线的交点定为外心；也可以用顶点坐标，根据外心到三个顶点距离相等列出方程，求出外心坐标。

问题3：三角形的外心到三个顶点有什么关系？

回答3：三角形的外心到三个顶点的距离相等，这个距离就是三角形外接圆的半径。

问题4：三角形的外心在直角三角形中位于哪里？

回答4：在直角三角形中，三角形的外心位于斜边中点，斜边中点到三个顶点的距离相等，所以这里就是三角形的外心。

问题5：三角形的外心适合用哪些概念一起理解？

回答5：三角形的外心适合和垂直平分线、外接圆、顶点距离、圆心位置这些概念一起理解，这样更容易看懂它的几何意义。

免责声明：本内容围绕三角形的外心是什么进行基础几何概念整理。学习三角形的外心时，可结合课本图形、垂直平分线性质和坐标方程进行理解。