【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的概念，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握一些常用的积分公式，可以帮助我们更高效地解决实际问题。以下是一些常见的不定积分与定积分公式，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分（∫f(x)dx） | 备注 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (n ≠ -1) | n为任意实数 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的积分 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ (a > 0, a ≠ 1) | 底数为a的指数函数 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 注意绝对值 |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 注意定义域 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 注意定义域 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 常见导数形式 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 常见导数形式 |
二、常见代数函数积分
| 函数 | 不定积分 | 备注 | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ | 线性分母 |
| $ \sqrt{ax + b} $ | $ \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C $ | 根号函数 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数 | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ | 分式分解 |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数 |
三、三角函数积分
| 函数 | 不定积分 | 备注 |
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | 含系数的正弦函数 |
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | 含系数的余弦函数 |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | 使用降幂公式 |
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | 使用降幂公式 |
| $ \tan^2 x $ | $ \tan x - x + C $ | 利用恒等式 $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $ |
四、有理函数积分（部分分式）
对于形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的有理函数，若分子次数不小于分母，则先进行多项式除法，再将分母因式分解后使用部分分式展开。例如：
- $ \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} $
- $ \frac{1}{(x - a)^2} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} $
五、定积分公式（部分）
| 函数 | 定积分 $ \int_a^b f(x) dx $ | 备注 |
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ (n ≠ -1) | 区间积分 |
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ | 指数函数 |
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ | 三角函数 |
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ | 三角函数 |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln b - \ln a $ | 注意区间不包含0 |
六、小结
积分是微积分的核心内容之一，掌握基本的积分公式有助于提高解题效率。不同类型的函数有不同的积分方法，例如代数函数、三角函数、有理函数等，各有其对应的积分技巧。建议在学习过程中结合练习，逐步加深对积分的理解和应用能力。
通过整理这些常用积分公式，可以快速查找并应用于实际问题中，是数学学习和研究的重要工具。