【导数公式及运算法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式和运算法则是学习微积分的基础。以下是对常见导数公式及其运算法则的总结，帮助读者系统地理解和应用。
一、基本导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的运算法则
在实际计算中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合运算，因此掌握导数的运算法则非常重要。
1. 常数倍法则
若 $ f(x) = k \cdot g(x) $，其中 $ k $ 为常数，则
$$
f'(x) = k \cdot g'(x)
$$
2. 加法法则
若 $ f(x) = g(x) + h(x) $，则
$$
f'(x) = g'(x) + h'(x)
$$
3. 减法法则
若 $ f(x) = g(x) - h(x) $，则
$$
f'(x) = g'(x) - h'(x)
$$
4. 乘法法则（莱布尼茨法则）
若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则
$$
f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
$$
5. 商法则
若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，且 $ h(x) \neq 0 $，则
$$
f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
$$
6. 链式法则（复合函数求导）
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
三、小结
导数的计算是微积分的核心内容之一，熟练掌握基本导数公式和运算法则有助于解决复杂的数学问题。无论是简单的多项式函数还是复杂的复合函数，都可以通过上述规则逐步求导。建议在学习过程中多做练习题，以加深对导数概念的理解与应用能力。
通过系统地整理和归纳，可以有效提升解题效率，避免因公式混淆而产生的错误。希望本文能为初学者提供清晰的学习路径和实用的知识点参考。