arc 函数也就是反三角函数，常见包含 arcsinx arccosx arctanx arccotx，求 arc 函数的定义域核心原理就是反函数性质，反函数的定义域等于原三角函数主值区间上的值域，arcsinx 和 arccosx 的自变量必须满足绝对值小于等于 1，定义域都是负 1 到正 1 闭区间，arctanx 和 arccotx 接受全部实数作为自变量，定义域是负无穷到正无穷，遇到复合题型的时候，也就是 arc 括号里面套多项式分式根式三角函数，要把括号内整体当作新自变量，代入对应 arc 函数的约束条件列出不等式，同时还要叠加内层表达式自身的限制，比如分母不为零偶次根号内非负，所有解集取交集，就是复合之后 arc 函数的定义域，掌握这个通用思路，就可以统一解决全部 arc 函数的定义域怎么求的题型，不用单独死记每一道题，理解原函数值域和反函数定义域的对应关系，是学好 arc 函数的定义域怎么求的根本，高中和大学微积分里面这个知识点是高频考点，经常结合值域求导积分一起综合出题。

四类基础 arc 函数对照表

表格

通用求解步骤

第一步 识别外层 arc 函数类型，判断是 arcsin arccos arctan 还是 arccot

第二步 调取对应的基础定义域约束，arcsin arccos 要求括号整体绝对值不大于 1，arctan arccot 没有数值上下限

第三步 列出不等式，把括号内表达式代入约束条件，解不等式得到第一部分解集

第四步 检查内层表达式本身自带限制，分母不等于零，根号里面大于等于零，对数真数大于零

第五步 将所有条件对应的解集取交集

第六步 整理结果，写成区间或者集合形式，就是最终 arc 函数的定义域

典型复合例题

例题 1 arcsin (2x 减 1)，属于 arcsin 类型，约束负 1 小于等于 2x 减 1 小于等于 1，解得 0 小于等于 x 小于等于 1，定义域就是 0 到 1 闭区间

例题 2 arccos (x 平方)，约束负 1 小于等于 x 平方小于等于 1，因为 x 平方本身大于等于 0，解得负 1 小于等于 x 小于等于 1

例题 3 arctan (x 加 3)，属于 arctan 类型，自变量无上下限制，内层一次函数全体实数有定义，定义域就是全体实数

例题 4 arcsin (1 除以 x)，约束负 1 小于等于 1 除以 x 小于等于 1，同时 x 不等于 0，解得 x 小于等于负 1 或者 x 大于等于 1

深度拓展要点

做题最容易混淆的点，arcsinx arccosx 有自变量上下限，arctanx arccotx 没有，很多同学会把 arctan 也加上绝对值小于等于 1 的错误限制，arc 函数定义域是闭区间还是开区间也要区分，arcsin arccos 端点正负 1 可以取到，arctan arccot 定义域是全体实数没有端点限制，复合函数求定义域的时候，必须同时兼顾外层 arc 约束和内层本身定义域，两个条件缺一不可，在求导章节，确定 arc 函数定义域之后，才能保证导数公式适用区间，后续不定积分三角换元，也需要依托 arc 函数定义域划定换元范围。

【相关 FAQ】

问题 1 arc 函数的定义域怎么求 arctan 为什么不需要绝对值小于等于 1

回答 1 arc 函数的定义域怎么求的时候，arctan 对应的原函数 tan 主值区间值域是全体实数，所以 arctan 自变量可以取任意实数，不需要绝对值小于等于 1，和 arcsin arccos 不一样。

问题 2 arc 函数的定义域怎么求 复合函数需要取交集吗

回答 2 arc 函数的定义域怎么求，复合题型要把外层 arc 约束解集和内层表达式自身定义域解集取交集，两个条件同时满足，才是最终定义域。

问题 3 arc 函数的定义域怎么求 arccos 和 arcsin 定义域相同吗

回答 3 arc 函数的定义域怎么求，arccos 和 arcsin 基础定义域都是负 1 到正 1 闭区间，定义域区间相同，但是值域不一样，arccos 值域是 0 到 π。

问题 4 arc 函数的定义域怎么求 端点正负 1 能不能取

回答 4 arc 函数的定义域怎么求，arcsin 和 arccos 定义域是闭区间，正负 1 端点可以取到，arctan arccot 定义域是全体实数，不存在这类端点限制。

【免责申明】

本文内容仅作为数学学习参考，部分旧教材对 arccot 主值区间定义存在差异，正式考试请以所用教材规定为准，本文不替代课堂教材与教师讲解。